SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

    Desde quando se começou a registrar informações sobre quantidades, foram criados diversos métodos de representar as quantidades.

O método ao qual estamos acostumados usa um sistema de numeração posicional. Isso significa que a posição ocupada por cada algarismo em um número altera seu valor de uma potência de 10 (na base 10) para cada casa à esquerda.

Por exemplo, no sistema decimal (base 10), no número 125 o algarismo 1 representa 100 (uma centena ou 102) , o 2 representa 20 (duas dezenas ou 2x101) e o 5 representa 5 mesmo (5 unidades ou 5x100). Assim, em nossa notação,

125 = 1x102  + 2x101 + 5x100

                                              Base de um Sistema de Numeração

A base de um sistema é a quantidade de algarismos disponível na representação. A base 10 é hoje a mais usualmente empregada, embora não seja a única utilizada.

Os computadores utilizam a base 2 (sistema binário) e os programadores, por facilidade, usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como 24 (base 16 ou sistema hexadecimal) ou eventualmente ainda 23 (base 8 ou sistema octal).

Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação do número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Na base 2, seriam apenas 2 algarismos: 0 e 1. Na base 16, seriam 16: os 10 algarismos aos quais estamos acostumados, mais os símbolos A, B, C, D, E e F, representando respectivamente 10, 11, 12, 13, 14 e 15 unidades. Generalizando, temos que uma base b qualquer é constituída  de b algarismos, variando entre 0 e (b-1).

Generalizando, representamos uma quantidade N qualquer, numa dada base b, com um número tal como segue:

Nb = an.bn + .... + a2.b2 + a1.b1 + a0.b0 + a-1.b-1 + a-2.b-2 + .... + a-n.b-n sendo que

an.bn + .... + a2.b2 + a1.b1 + a0.b0 é a parte inteira e

a-1.b-1 + a-2.b-2 + .... + a-n.b-n é a parte fracionária.

Intuitivamente, sabemos que o maior número que podemos representar, com n algarismos, na base b, será o número composto n vezes pelo maior algarismo disponível naquela base (ou seja, b-1). Por exemplo, o maior número que pode ser representado na base 10 usando 3 algarismos será 999 (ou seja, 103 - 1 = 999).

Generalizando, podemos ver que o maior número inteiro N que pode ser representado, em uma dada base b, com n algarismos (n "casas"), será N = bn - 1. Assim, o maior número de 2 algarismos na base 16 será FF16 que, na base 10, equivale a 25510 = 162 - 1.

 

MUNDO DIGITAL

Vivemos num mundo onde as grandezas presentes são analógicas,isto é,podem assumir qualquer valor numa faixa contínua de valores.Isto significa que qualquer tipo de ruído,seja qual for a sua origem,irá inevitavelmente alterar as variáveis e interferir nos dados apresentados.Para contornar esse problema,foram criados os circuitos digitais.

Os equipamentos que utilizam circuitos digitais, utilizam apenas o sistema binário, isto é, todas as informações armazenadas ou processadas nesses equipamentos usam apenas duas grandezas, representadas pelos algarismos 0 e 1.

 Essa decisão de projeto deve-se à maior facilidade de representação interna no equipamento, que é obtida através de dois diferentes níveis de tensão,onde não importa o valor exato da tensão,mas sim uma faixa de tensões que caracterizam os níveis lógicos 0 (Low Level) e 1 (High Level). Havendo apenas dois algarismos, portanto dígitos binários, o elemento mínimo de informação nos equipamentos digitais é chamado de bit ( binary digit).

A base binária e a lógica criada por BOOLE possibilitaram a criação de circuitos denominados PORTAS LÓGICAS(elementos básicos para a invenção das máquinas digitais).

A origem da palavra DIGITAL vem justamente do fato de podermos contar com um só dedo(ou seja,um só dígito)os dois algarismos("0"e"1").

Representação Binária

Na base 2, o número "10" vale dois. Mas se 102 = 210, então dez é igual a dois?

NÃO, dez não é e nunca será igual a dois!

Na realidade, "10" não significa necessariamente "dez". Nós estamos acostumados a associar "10" a "dez" porque estamos acostumados a usar o sistema de numeração decimal. O número
102 seria lido "um-zero" na base 2 e vale 210 (convertido para "dois" na base dez),
105 seria lido "um-zero" na base 5 e vale 510 (convertido para "cinco" na base dez),
1010 pode ser lido como "um-zero" na base 10 ou então como "dez" na base dez,
1016 seria lido "um-zero" na base 16 e vale 1610 (convertido para "dezesseis" na base dez), etc.

Portanto, 10 só será igual a dez se - e somente se - o número estiver representado na base dez!

OBS.: Toda vez que um número for apresentado sem que seja indicado em qual sistema de numeração ele está representado,  a base numérica utilizada é decimal. Sempre que outra base for utilizada, a base será obrigatoriamente indicada.

 

Repr.Binária

Potência

Repr.Decimal

1 20 1
10 21 2
100 22 4
1000 23 8
10000 24 16
100000 25 32
1000000 26 64
10000000 27 128
100000000 28 256
1000000000 29 512
10000000000 210 1.024

A representação binária é perfeitamente adequada para utilização pelos computadores

No entanto, um número representado em binário pode apresentar muitos bits, ficando longo e passível de erros quando manipulado por seres humanos normais como por exemplo os programadores, analistas e engenheiros de sistemas.

Para facilitar a visualização e manipulação dos dados e instruções processados em computadores, é usualmente adotada a representação hexadecimal (base 16). Ressaltamos mais uma vez que o computador opera apenas na base 2 e a representação hexadecimal não é usada no computador, ela se destina apenas à manipulação de grandezas pelos programadores.

 

                                    Representação em Octal e em Hexadecimal


            Para reduzir o número de algarismos da representação e consequentemente facilitar a compreensão da grandeza e evitar erros temos o sistema octal (base 8),onde cada três bits são representados por apenas um algarismo octal (de 0 a 7), e o sistema hexadecimal (base 16),onde cada quatro bits são representados por apenas um algarismo hexadecimal (de 0 a F ).

A seguir, apresentamos uma tabela com os números em decimal e sua representação correspondente em binário, octal e hexadecimal:

Base 10 Base 2 Base 8 Base 16
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F

Nota: a base 16 ou sistema hexadecimal pode ser indicada também por um "H" ou "h" após o número; por exemplo: FFH significa que o número FF  está em hexadecimal. Não confundir o "H" ou "h" com mais um dígito, mesmo porque em hexadecimal só temos algarismos até "F".

 

 

 

Conversões entre Bases


Vamos analisar agora as regras gerais para converter números entre duas bases quaisquer.

                                            Conversões entre as bases 2, 8 e 16
As conversões mais simples são as que envolvem bases que são potências entre si. Vamos exemplificar com a conversão entre a base 2 e a base 8. Como 23 = 8, separando os bits de um número binário em grupos de tres bits (começando sempre da direita para a esquerda!) e convertendo cada grupo de tres bits para seu equivalente em octal, teremos a representação do número em octal. Por exemplo:

101010012 = 10 / 101 / 0012 (separando em grupos de 3, sempre começando da direita para a esquerda)
Sabemos que 0102 = 28 ; 1012 = 58 ; 0012 = 18 portanto 101010012 = 2518

Vamos agora exemplificar com uma conversão entre as bases 2 e 16. Como 24 = 16, basta separarmos em grupos de 4 bits (começando sempre da direita para a esquerda!) e converter.

 Por exemplo:

11001010111111102 =  1100  / 1010 / 1111 / 11102 (separando em grupos de 4 bits, sempre começando da direita para a esquerda)
Sabemos que 11002 = C16; 10102 = A16 ; 11112 = F16 ; 11102 = E16

portanto 11001010111111102 = CAFE16

Vamos agora exercitar a conversão inversa. Quanto seria 3F5H (lembrar que o H está designando "hexadecimal") em octal? O método mais prático seria converter para binário e em seguida para octal.

3F5H = 11 / 1111 / 01012 (convertendo cada dígito hexadecimal em 4 dígitos binários) =
= 1 / 111 / 110 / 1012 (agrupando de tres em tres bits) =
= 17658 (convertendo cada grupo de tres bits para seu valor equivalente em octal).

Conversão de Números em uma base b qualquer para a base 10
Vamos lembrar a expressão geral já apresentada:

Nb = an.bn + .... + a2.b2 + a1.b1 + a0.b0 + a-1.b-1 + a-2.b-2 + .... + a-n.b-n

A melhor forma de fazer a conversão é usando essa expressão. Tomando como exemplo o número 1011012, vamos calcular seu valor representado na base dez. Usando a expressão acima, fazemos:

1011012 = 1x25 + 0x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 4510

Podemos fazer a conversão de números em qualquer base para a base 10 usando o algoritmo acima.

Exemplos:
a) Converter 4F5H para a base 10 .
Solução: Lembramos que o H significa que a representação é hexadecimal (base 16). Sabemos ainda que F16=1510. Então:
4x162 + 15x161 + 5x160 = 4x256 + 15x16 + 5 = 1024 + 240 + 5 = 126910

b) Converter 34859 para a base 10.
Solução: 3x93 + 4x92 + 8x91 + 5x90 = 3x729 + 4x81 + 8x9 + 5 = 2187 + 324 + 72 + 5 = 258810.

c) Converter 1001,012 para a base 10.
Solução: 1x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20 + 0x2-1 + 1x2-2 = 8 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0,25 = 9,2510

d) Converter 34,35 para a base 10.
Solução: 3x51 + 4x50 + 3x5-1 = 15 + 4 + 0,6 = 19,610

e) Converter 38,38 para a base 10.
Solução: Uma base b dispõe dos algarismos entre 0 e (b-1). Assim, a base 8 dispõe dos algarismos 0 a 7 e portanto o algarismo 8 não existe nessa base. A representação 38,3 não existe na base 8.

Conversão de Números da Base 10 para uma Base b qualquer
A conversão de números da base dez para uma base qualquer emprega algoritmos que serão o inverso dos acima apresentados. Os algoritmos serão melhor entendidos pelo exemplo que por uma descrição formal. Vamos a seguir apresentar os algoritmos para a parte inteira e para a parte fracionária:

Parte Inteira:
O número decimal será dividido sucessivas vezes pela base; o resto de cada divisão ocupará sucessivamente as posições de ordem 0, 1, 2 e assim por diante até que o resto da última divisão (que resulta em quociente zero) ocupe a posição de mais alta ordem. Veja o exemplo da conversão do número 2510 para a base 2:

 

Conversão do número (25)10 para a base 2

Experimente fazer a conversão contrária (retornar para a base 10) e ver se o resultado está correto.

Parte Fracionária
Se o número for fracionário, a conversão se fará em duas etapas distintas: primeiro a parte inteira e depois a parte fracionária. Os algoritmos de conversão são diferentes. O algoritmo para a parte fracionária consiste de uma série de multiplicações sucessivas do número fracionário a ser convertido pela base; a parte inteira do resultado da primeira multiplicação será o valor da primeira casa fracionária e a parte fracionária será de novo multiplicada pela base; e assim por diante, até o resultado dar zero ou até encontrarmos o número de casas decimais desejado. Por exemplo, vamos converter 15,6510 para a base 2, com 5 e com 10 algarismos fracionários:

Obs.: Em ambos os casos, a conversão foi interrompida quando encontramos o número de algarismos fracionários solicitadas no enunciado. No entanto, como não encontramos resultado 0 em nenhuma das multiplicações, poderíamos continuar efetuando multiplicações indefinidamente até encontrar (se encontrarmos) resultado zero. No caso de interrupção por chegarmos ao número de dígitos especificado sem encontramos resultado zero, o resultado encontrado é aproximado e essa aproximação será função do número de algarismos que calcularmos. Fazendo a conversão inversa, encontraremos:

Com 5 algarismos fracionários:
Parte inteira: 11112 = 1510
Parte fracionária: 0,101002 = 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 + 0x2-4 + 0x2-5 = 0,5 + 0,125 = 0,62510

Com 10 algarismos fracionários:
Parte inteira: 11112 = 1510
Parte fracionária: 0,10100110012 = 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 + 0x2-4 + 0x2-5 + 1x2-6 + 1x2-7 + 0x2-8 + 0x2-9 + 1x2-10 = 1/2 + 1/8 + 1/64 + 1/128 + 1/1024 = 0,5 + 0,125 + 0,015625 + 0,0078125 + 0,0009765625 = 0,649414062510

Ou seja, podemos verificar (sem nenhuma surpresa) que, quanto maior número de algarismos forem considerados, melhor será a aproximação.

Conversão de Números entre duas Bases quaisquer
Para converter números de uma base b para uma outra base b' quaisquer (isso é, que não sejam os casos particulares anteriormente estudados), o processo prático utilizado é converter da base b dada para a base 10 e depois da base 10 para a base b' pedida.

Exemplo: Converter 435 para ( )9.
435 = (4 x 5 + 3)10 = 2310 ==> 23/9 = 2 (resto 5) logo 435 = 2310 = 259

 

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