SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

    Desde quando se começou a registrar informações sobre quantidades, foram criados diversos métodos de representar as quantidades.

O método ao qual estamos acostumados usa um sistema de numeração posicional. Isso significa que a posição ocupada por cada algarismo em um número altera seu valor de uma potência de 10 (na base 10) para cada casa à esquerda.

Por exemplo, no sistema decimal (base 10), no número 125 o algarismo 1 representa 100 (uma centena ou 10²) , o 2 representa 20 (duas dezenas ou 2x10¹) e o 5 representa 5 mesmo (5 unidades ou 5x10⁰). Assim, em nossa notação,

125 = 1x10²  + 2x10¹ + 5x10⁰

                                              Base de um Sistema de Numeração

A base de um sistema é a quantidade de algarismos disponível na representação. A base 10 é hoje a mais usualmente empregada, embora não seja a única utilizada.

Os computadores utilizam a base 2 (sistema binário) e os programadores, por facilidade, usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como 2⁴ (base 16 ou sistema hexadecimal) ou eventualmente ainda 2³ (base 8 ou sistema octal).

Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação do número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Na base 2, seriam apenas 2 algarismos: 0 e 1. Na base 16, seriam 16: os 10 algarismos aos quais estamos acostumados, mais os símbolos A, B, C, D, E e F, representando respectivamente 10, 11, 12, 13, 14 e 15 unidades. Generalizando, temos que uma base b qualquer é constituída  de b algarismos, variando entre 0 e (b-1).

Generalizando, representamos uma quantidade N qualquer, numa dada base b, com um número tal como segue:

N_b = a_n.bⁿ + .... + a₂.b² + a₁.b¹ + a₀.b⁰ + a_-1.b^-1 + a_-2.b^-2 + .... + a_-n.b^-n sendo que

a_n.bⁿ + .... + a₂.b² + a₁.b¹ + a₀.b⁰ é a parte inteira e

a_-1.b^-1 + a_-2.b^-2 + .... + a_-n.b^-n é a parte fracionária.

Intuitivamente, sabemos que o maior número que podemos representar, com n algarismos, na base b, será o número composto n vezes pelo maior algarismo disponível naquela base (ou seja, b-1). Por exemplo, o maior número que pode ser representado na base 10 usando 3 algarismos será 999 (ou seja, 10³ - 1 = 999).

Generalizando, podemos ver que o maior número inteiro N que pode ser representado, em uma dada base b, com n algarismos (n "casas"), será N = bⁿ - 1. Assim, o maior número de 2 algarismos na base 16 será FF₁₆ que, na base 10, equivale a 255₁₀ = 16² - 1.

MUNDO DIGITAL

Vivemos num mundo onde as grandezas presentes são analógicas,isto é,podem assumir qualquer valor numa faixa contínua de valores.Isto significa que qualquer tipo de ruído,seja qual for a sua origem,irá inevitavelmente alterar as variáveis e interferir nos dados apresentados.Para contornar esse problema,foram criados os circuitos digitais.

Os equipamentos que utilizam circuitos digitais, utilizam apenas o sistema binário, isto é, todas as informações armazenadas ou processadas nesses equipamentos usam apenas duas grandezas, representadas pelos algarismos 0 e 1.

 Essa decisão de projeto deve-se à maior facilidade de representação interna no equipamento, que é obtida através de dois diferentes níveis de tensão,onde não importa o valor exato da tensão,mas sim uma faixa de tensões que caracterizam os níveis lógicos 0 (Low Level) e 1 (High Level). Havendo apenas dois algarismos, portanto dígitos binários, o elemento mínimo de informação nos equipamentos digitais é chamado de bit ( binary digit).

A base binária e a lógica criada por BOOLE possibilitaram a criação de circuitos denominados PORTAS LÓGICAS(elementos básicos para a invenção das máquinas digitais).

A origem da palavra DIGITAL vem justamente do fato de podermos contar com um só dedo(ou seja,um só dígito)os dois algarismos("0"e"1").

Representação Binária

Na base 2, o número "10" vale dois. Mas se 10₂ = 2₁₀, então dez é igual a dois?

NÃO, dez não é e nunca será igual a dois!

Na realidade, "10" não significa necessariamente "dez". Nós estamos acostumados a associar "10" a "dez" porque estamos acostumados a usar o sistema de numeração decimal. O número
10₂ seria lido "um-zero" na base 2 e vale 2₁₀ (convertido para "dois" na base dez),
10₅ seria lido "um-zero" na base 5 e vale 5₁₀ (convertido para "cinco" na base dez),
10₁₀ pode ser lido como "um-zero" na base 10 ou então como "dez" na base dez,
10₁₆ seria lido "um-zero" na base 16 e vale 16₁₀ (convertido para "dezesseis" na base dez), etc.

Portanto, 10 só será igual a dez se - e somente se - o número estiver representado na base dez!

OBS.: Toda vez que um número for apresentado sem que seja indicado em qual sistema de numeração ele está representado,  a base numérica utilizada é decimal. Sempre que outra base for utilizada, a base será obrigatoriamente indicada.

A representação binária é perfeitamente adequada para utilização pelos computadores

No entanto, um número representado em binário pode apresentar muitos bits, ficando longo e passível de erros quando manipulado por seres humanos normais como por exemplo os programadores, analistas e engenheiros de sistemas.

Para facilitar a visualização e manipulação dos dados e instruções processados em computadores, é usualmente adotada a representação hexadecimal (base 16). Ressaltamos mais uma vez que o computador opera apenas na base 2 e a representação hexadecimal não é usada no computador, ela se destina apenas à manipulação de grandezas pelos programadores.

                                    Representação em Octal e em Hexadecimal

            Para reduzir o número de algarismos da representação e consequentemente facilitar a compreensão da grandeza e evitar erros temos o sistema octal (base 8),onde cada três bits são representados por apenas um algarismo octal (de 0 a 7), e o sistema hexadecimal (base 16),onde cada quatro bits são representados por apenas um algarismo hexadecimal (de 0 a F ).

A seguir, apresentamos uma tabela com os números em decimal e sua representação correspondente em binário, octal e hexadecimal:

Nota: a base 16 ou sistema hexadecimal pode ser indicada também por um "H" ou "h" após o número; por exemplo: FFH significa que o número FF  está em hexadecimal. Não confundir o "H" ou "h" com mais um dígito, mesmo porque em hexadecimal só temos algarismos até "F".

Visualizando Base Binária e Base Hexadecimal

Conversões entre Bases

Vamos analisar agora as regras gerais para converter números entre duas bases quaisquer.

                                            Conversões entre as bases 2, 8 e 16
As conversões mais simples são as que envolvem bases que são potências entre si. Vamos exemplificar com a conversão entre a base 2 e a base 8. Como 2³ = 8, separando os bits de um número binário em grupos de tres bits (começando sempre da direita para a esquerda!) e convertendo cada grupo de tres bits para seu equivalente em octal, teremos a representação do número em octal. Por exemplo:

10101001₂ = 10 / 101 / 001₂ (separando em grupos de 3, sempre começando da direita para a esquerda)
Sabemos que 010₂ = 2₈ ; 101₂ = 5₈ ; 001₂ = 1₈ portanto 10101001₂ = 251₈

Vamos agora exemplificar com uma conversão entre as bases 2 e 16. Como 2⁴ = 16, basta separarmos em grupos de 4 bits (começando sempre da direita para a esquerda!) e converter.

 Por exemplo:

1100101011111110₂ =  1100  / 1010 / 1111 / 1110₂ (separando em grupos de 4 bits, sempre começando da direita para a esquerda)
Sabemos que 1100₂ = C₁₆; 1010₂ = A₁₆ ; 1111₂ = F₁₆ ; 1110₂ = E₁₆

portanto 1100101011111110₂ = CAFE₁₆

Vamos agora exercitar a conversão inversa. Quanto seria 3F5H (lembrar que o H está designando "hexadecimal") em octal? O método mais prático seria converter para binário e em seguida para octal.

3F5H = 11 / 1111 / 0101₂ (convertendo cada dígito hexadecimal em 4 dígitos binários) =
= 1 / 111 / 110 / 101₂ (agrupando de tres em tres bits) =
= 1765₈ (convertendo cada grupo de tres bits para seu valor equivalente em octal).

Conversão de Números em uma base b qualquer para a base 10
Vamos lembrar a expressão geral já apresentada:

N_b = a_n.bⁿ + .... + a₂.b² + a₁.b¹ + a₀.b⁰ + a_-1.b^-1 + a_-2.b^-2 + .... + a_-n.b^-n

A melhor forma de fazer a conversão é usando essa expressão. Tomando como exemplo o número 101101₂, vamos calcular seu valor representado na base dez. Usando a expressão acima, fazemos:

101101₂ = 1x2⁵ + 0x2⁴ + 1x2³ + 1x2² + 0x2¹ + 1x2⁰ = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45₁₀

Podemos fazer a conversão de números em qualquer base para a base 10 usando o algoritmo acima.

Exemplos:
a) Converter 4F5H para a base 10 .
Solução: Lembramos que o H significa que a representação é hexadecimal (base 16). Sabemos ainda que F₁₆=15₁₀. Então:
4x16² + 15x16¹ + 5x16⁰ = 4x256 + 15x16 + 5 = 1024 + 240 + 5 = 1269₁₀

b) Converter 3485₉ para a base 10.
Solução: 3x9³ + 4x9² + 8x9¹ + 5x9⁰ = 3x729 + 4x81 + 8x9 + 5 = 2187 + 324 + 72 + 5 = 2588₁₀.

c) Converter 1001,01₂ para a base 10.
Solução: 1x2³ + 0x2² + 0x2¹ + 1x2⁰ + 0x2^-1 + 1x2^-2 = 8 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0,25 = 9,25₁₀

d) Converter 34,3₅ para a base 10.
Solução: 3x5¹ + 4x5⁰ + 3x5^-1 = 15 + 4 + 0,6 = 19,6₁₀

e) Converter 38,3₈ para a base 10.
Solução: Uma base b dispõe dos algarismos entre 0 e (b-1). Assim, a base 8 dispõe dos algarismos 0 a 7 e portanto o algarismo 8 não existe nessa base. A representação 38,3 não existe na base 8.

Conversão de Números da Base 10 para uma Base b qualquer
A conversão de números da base dez para uma base qualquer emprega algoritmos que serão o inverso dos acima apresentados. Os algoritmos serão melhor entendidos pelo exemplo que por uma descrição formal. Vamos a seguir apresentar os algoritmos para a parte inteira e para a parte fracionária:

Parte Inteira:
O número decimal será dividido sucessivas vezes pela base; o resto de cada divisão ocupará sucessivamente as posições de ordem 0, 1, 2 e assim por diante até que o resto da última divisão (que resulta em quociente zero) ocupe a posição de mais alta ordem. Veja o exemplo da conversão do número 25₁₀ para a base 2:

Conversão do número (25)10 para a base 2

Experimente fazer a conversão contrária (retornar para a base 10) e ver se o resultado está correto.

Parte Fracionária
Se o número for fracionário, a conversão se fará em duas etapas distintas: primeiro a parte inteira e depois a parte fracionária. Os algoritmos de conversão são diferentes. O algoritmo para a parte fracionária consiste de uma série de multiplicações sucessivas do número fracionário a ser convertido pela base; a parte inteira do resultado da primeira multiplicação será o valor da primeira casa fracionária e a parte fracionária será de novo multiplicada pela base; e assim por diante, até o resultado dar zero ou até encontrarmos o número de casas decimais desejado. Por exemplo, vamos converter 15,65₁₀ para a base 2, com 5 e com 10 algarismos fracionários:

Obs.: Em ambos os casos, a conversão foi interrompida quando encontramos o número de algarismos fracionários solicitadas no enunciado. No entanto, como não encontramos resultado 0 em nenhuma das multiplicações, poderíamos continuar efetuando multiplicações indefinidamente até encontrar (se encontrarmos) resultado zero. No caso de interrupção por chegarmos ao número de dígitos especificado sem encontramos resultado zero, o resultado encontrado é aproximado e essa aproximação será função do número de algarismos que calcularmos. Fazendo a conversão inversa, encontraremos:

Com 5 algarismos fracionários:
Parte inteira: 1111₂ = 15₁₀
Parte fracionária: 0,10100₂ = 1x2^-1 + 0x2^-2 + 1x2^-3 + 0x2^-4 + 0x2^-5 = 0,5 + 0,125 = 0,625₁₀

Com 10 algarismos fracionários:
Parte inteira: 1111₂ = 15₁₀
Parte fracionária: 0,1010011001₂ = 1x2^-1 + 0x2^-2 + 1x2^-3 + 0x2^-4 + 0x2^-5 + 1x2^-6 + 1x2^-7 + 0x2^-8 + 0x2^-9 + 1x2^-10 = 1/2 + 1/8 + 1/64 + 1/128 + 1/1024 = 0,5 + 0,125 + 0,015625 + 0,0078125 + 0,0009765625 = 0,6494140625₁₀

Ou seja, podemos verificar (sem nenhuma surpresa) que, quanto maior número de algarismos forem considerados, melhor será a aproximação.

Conversão de Números entre duas Bases quaisquer
Para converter números de uma base b para uma outra base b' quaisquer (isso é, que não sejam os casos particulares anteriormente estudados), o processo prático utilizado é converter da base b dada para a base 10 e depois da base 10 para a base b' pedida.

Exemplo: Converter 43₅ para ( )₉.
43₅ = (4 x 5 + 3)₁₀ = 23₁₀ ==> 23/9 = 2 (resto 5) logo 43₅ = 23₁₀ = 25₉

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